Pengertian Polinomial
Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis suku banyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.
Contoh :
f(x) = 4x⁴+2x³-2x²+4x-7
(X=2)
Ada 2 teori penyelesaian :
1) Teori Subtitusi
f(x) = 4x⁴+2x³-2x²+4x-7 jika (X=2)
f(2) = 4(2)⁴+2(2)³-2(2)²+4(2)-7
= 64+16-8+8-7
=73
Jadi, nilai suku banyak untuk f(x)=2 adalah 73
2) Teori Horner
-buat tabel horner
-masukan koefisien berurutan
-operasi horner
f(x) = 4x⁴+2x³-2x²+4x-7 jika (X=2)
x⁴ x³ x² x¹ x°
| 4 2 -2 4 -7
| 8 20 36 80
x= 2 |________________________+
| 4 10 18 40 73
Jadi, nilai suku banyak untuk f(x)=2 adalah 73
Penjumlahan dan Pengurangan Suku Banyak
Penjumlahan suku banyak dapat dilakukan dengan langkah yang sama dengan bilangan real. Begitu juga pada pengurangan. Misalnya f(x) dan g(x)
Contoh soal :
Dik : f(x) = 2x²-x+4 dan
g(x) = x²-x+3
Dit :a) f(x) + g(x)
b) f(x) - g(x)
c) f(x) . g(x)
a) f(x) + g(x)
=(2x²-x+4) + (x²-x+3)
= 2x²+x²-x-x+4+3
= 3x²-2x+7
Begitu juga pada operasi pengurangan. Intinya, koefisien pada pangkat yang sama dijumlahkan atau dikurangkan.
Perkalian suku banyak
Perkalian suku banyak tidak sama dengan penjumlahan atau pengurangan suku banyak. Pada perkalian suku banyak, kita sudah tidak memandang koefisien dengan pangkat yang sama.
c) f(x) . g(x)
=(2x²-x+4) . (x²-x+3)
=2x⁴-2x³+6x²-x³+x²-3x+4x²-4x+12
=2x⁴-2x³-x³+6x²+x²+4x²-3x-4x+12
=2x⁴-3x³+11x²-7x+12
Algoritma Pembagian Polinomial
f(x) = p(x) . h(x) + s(x)
Keterangan : f(x) = fungsi polinomial
p(x) = pembagi polinomial
h(x) = hasil polinomial
s(x) = sisa polinomial
Fungsi=pembagi . hasil + sisa
Contoh soal :
x³-2x²+x-5 dimana x - 2
Ada 2 cara penyelesaian :
1) Cara Pembagian Bersusun
x²+1➡ hasil
___________
pembagi⬅ x-2 /x³-2x²+x-5
x³-2x²
_____________-
x-5
x-2
_____________-
-3 ➡ sisa
Pembuktian :
Fungsi=pembagi . hasil + sisa
x³-2x²+x-5 = (x-2) . (x²+1) + (-3)
x³-2x²+x-5 = x³+x-2x²-2-3
x³-2x²+x-5 = x³-2x²+x-5
🔚 terbukti
2) Cara Teori Horner
Pembagi⬅ x-2 = 0
x=2
x³ x² x¹ x°
| 1 -2 1 -5
| 2 0 2
x= 2 |______________________+
| 1 0 1 (-3)➡ sisa
(x²+1) ➡ hasil
Pembuktian :
Fungsi=pembagi . hasil + sisa
x³-2x²+x-5 = (x-2) . (x²+1) + (-3)
x³-2x²+x-5 = x³+x-2x²-2-3
x³-2x²+x-5 = x³-2x²+x-5
🔚 terbukti
Teorema Sisa
Ada 3 jenis metode Teorema Sisa
1) Teorema 1
Jika suku banyak f(x) : (x-k) maka akan bersisa :
f(x)
f(k) atau ______
(x-k)
Contoh soal :
Dengan teori horner
f(x) = 2x³+x²-2x+4 : (x-2)
x³ x² x¹ x°
| 2 1 -2 4
| 4 10 16
x= 2 |______________________+
| 2 5 8 (20)➡ sisa
(2x²+5x+8) ➡ hasil
Dengan teori bersusun
2x²+5x+8➡ hasil
___________
pembagi⬅ x-2 /2x³+x²-2x+4
2x³-4x²
_____________-
5x²-2x+4
5x²-10x
_____________-
8x+4
8x-16
_____________-
20 ➡ sisa
f(x) = 2x³+x²-2x+4 : (x-2)
f(2) = 2x³+x²-2x+4
____________
x-k
= 2(2)³+(2)²-2(2)+4
_________________
2-2
= 16+4-4+4
= 20
2) Teorema 2
Jika suku banyak f(x) : a(x) - b maka akan bersisa :
( b )
f _____
( a )
Contoh soal :
Diketahui suku banyak f(x) = 2x³+4x²-x+4. Jika f(x) dibagi oleh (2x-1) , tentukan nilai sisanya
Penyelesaian :
Dengan teori horner
f(x) = 2x³+4x²-x+4 : (2x-1)
x³ x² x¹ x°
| 2 4 -1 4
| 1 5/2 3/4
x=½ |______________________+
| 2 5 3/2 19/4 ➡ sisa
(2x²+5x+3/2) ➡ hasil
Dengan teori bersusun
x²+5/2x+3/4➡ hasil
_____________
pembagi⬅ 2x-1 /2x³+4x²-x+4
2x³-x²
_____________-
5x²-x
5x²-5/2x+4
_____________-
3/2x+4
3/2x-3/4
_____________-
19/4 ➡ sisa
3) Teorema 3
Jika Suatu suku banyak f(x)
__________
(x-a) (x-b)
maka sisanya adalah px+q dimana f(a)=pa+q dan f(b)=pb+q
Contoh soal :
F(x)= 2x³-x²+2x-1 dibagi x²+x-2 ,berpakah sisanya?
Penyelesaian :
1. Langkah pertama adalah memfaktorkan pembagi yaitu : x²+x-2 ➡ (x-1) (x+2)
Maka a yaitu x-1 >> x=1 atau a=1 dan b yaitu x+2 >> x=-2 atau b=-2
2. Mensubtitusikan a dan b ke dalam f(x)
f(x)= 2x³-x²+2x-1
Maka :
f(a=1) =2(1)³-(1)²+2(1)-1
=2-2+2-1
=1
f(b=-2) =2(-2)³-(-2)²+(-2)-1
=-16-4-2-1
=-23
3. Substitusi nilai f(a) dan f(b) ke rumus Px+q
f(a=1) =pa+q
1 = p(1)+q
1 = p+q ➡ (p+q=1) persamaan 1
f(b=-2) =p(-2)+q
-23 =-2p+q ➡ (-2p+q=-23) persamaan 2
4. Eliminasi pers 1 dan 2
p+q=1
-2p+q=-23
_____________–
3p = 24
p = 8
5. Substitusi nila p kedalam salah satu pers
p+q =0
8+q =1
q =-7
6. Masukan p dan q kedalam rumus px+q
px+q
8x-7
Maka sisa pembagian nya adalah 8x-7
Pembuktian menggunakan cara bersusun
f(x)= 2x³-x²+2x-1
2x-3
____________
x²+x-2 / 2x³-x²+2x-1
2x³+2x²-4x
_______________-
-3x²+5x-1
-3x²-3x+6
_______________-
8x-7 ➡ sisa
Teorema Faktor
Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai (0) maka itulah faktor
f(x) = p(x).h(x).s(x) -]s(x)=0
Contoh soal :
x²-2x-3
1. Cari faktor dari persamaan
x²-2x-3 >> (x-3)(x+1) maka nilai x dari x-3 adalah x=3 dan dari x+1 adalah x=-1 maka
hp=(-1,3)
Dengan teori horner
x² x¹ x°
| 1 -2 -3
| -1 3
x=-1|______________________+
| 1 -3 0 ➡ sisa
(x-3) ➡ hasil
🔚 terbukti
